A continuación se explicaran tres teoremas que son base para la solución numérica de ecuaciones no lineales de una variable.
1. Teorema del valor intermedio
- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], y sea k un número entre f(a) y f(b). Existe un c que pertenece a (a, b) tal que f(c) = k.
- Este teorema sirve para demostrar la existencia de raíces cuando f(a) y f(b) tienen signos contrarios.
- Este teorema también sirve para demostrar la existencia de una única raíz cuando se cumple la siguiente condición:
F es diferenciable en (a, b) y f’(x) no cambia de signo para todo x que pertenece a [a, b]; entonces existe un único xm en [a, b] que es raíz de la ecuación f(x) = 0.
2. Teorema de Rolle
- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe un punto c (a,b) en donde la derivada es igual a 0 (f’(c)=0).
- Este teorema sirve para demostrar la existencia de una única raíz en un intervalo cerrado y por esta misma razón soluciones a ecuaciones de una variable.
- También se utiliza para demostrar el Teorema del Valor medio. Además, el Teorema de Rolle se puede usar para deducir numerosas propiedades de las funciones, por ejemplo, la búsqueda de soluciones de una ecuación (equivalente a buscar los ceros de una función f(x)=0).
3. Teorema de valor medio
Teorema de los incrementos finitos es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Se usa normalmente para demostrar otros teoremas.
Si f es una función continua en el intervalo y diferenciable en entonces existe al menos algún punto ƺ en el intervalo tal que:
Procesos Numéricos 