El método de Gauss – Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el segundo se utiliza el valor de las incognitas para determinar una nueva aproximación, en el primero se utilizan los valores de las incógnitas recién calculadas en la misma iteración y no en la siguiente.
Su forma general es la siguiente:
En su forma matricial, la sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A en la forma siguiente:
A = D – L – U
Donde D es una matriz diagonal, L una matriz triangular inferior y U una matriz triangular superior.
Partiendo de Ax=b se tiene:
(D – L – U)x = b
(D – L)x – Ux = b
(D – L)x = Ux + b
X = (D – L)-1 Ux + (D – L)-1 b
Donde Tg = (D – L)-1 U y Cg = (D – L)-1 b
Ejemplo:
Del ejemplo anterior, utilizado en el método de Jacobi, con el vector inicial x = (0 0 0)’, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
6x1 + 2x2 + x3 = 22
-x1 + 8x2 + 2x3 = 30
X1 – x2 + 6x3 = 23
Se despejan las variables x de cada una de las ecuaciones:
X1 = (22 – 2x2 – x3)/6
X2 = (30 + x1 – 2x3)/8
X3 = (23 – x1 + x2)/6
Al implementar el vector inicial, se halla el valor de la primera incógnita:
X1 = (22 – 2x2 – x3)/6
X1 = (22 – 2(0) – (0))/6
X1 = 3.66
Se halla la segunda incógnita empleando el valor hallado para x1.
X2 = (30 + x1 – 2x3)/8
X2 = (30 + (3.66) – 2(0))/8
X2 = 4.21
De igual forma, se halla la tercera incógnita empleando los valores de x1 y x2.
X3 = (23 – x1 + x2)/6
X3 = (23 – (3.66) + (4.21))/6
X3 = 3.925
A continuación se debe iterar hasta que los valores de las incógnitas sean homogéneos:
|
Iteración |
X1 |
X2 |
X3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
3.67 |
4.21 |
3.92 |
|
2 |
1.61 |
2.97 |
4.06 |
|
3 |
2.00 |
2.98 |
4.00 |
|
4 |
2.01 |
3.00 |
4.00 |
|
5 |
2.00 |
3.00 |
4.00 |
|
6 |
2.00 |
3.00 |
4.00 |
Se puede observar que este método converge más rápido que el método de Jacobi explicado anteriormente.
Código: GAUSS – SEIDEL
Procesos Numéricos 